MATEMATICAS 4

TEMARIO:

ü  MATEMATICAS IV.-RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE

FUNCIONES.

ü  BLOQUE II.-APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS.

ü  BLOQUE III.- EMPLEA FUNCIONES POLINOMINALES DE GRADO O,1 Y 2.

ü  BLOQUE IV.- EMPLEA FUNCIONES POLINOMINALES DE GRADO 3 Y 4.

ü  BLOQUE V .-EMPLEA FUNCIONES POLINOMINALES FACTORIZABLES.

ü  BLOQUE VI .-EMPLEA FUNCIONES RACIONALES.

ü  BLOQUE VII.-APLICA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS .

ü  BLOQUE VIII.-EMPLEA FUNCIONES PERIODICAS.

                      DEFINICIONES

  CONJUNTOS:

Es una agrupación con lección o asumacion de objetos, seres  o cosas bien definidas mediante una regla o características comun.

Los objetos seres o cosas que pertenecen a un conjunto son llamados elementos y se representa mediante letras minúsculasmientras que los conjuntos los denotamos con mayúsculas.

A  continuación se presenta algunos símbolos que comúnmente se utilizan en los

conjuntos.

SIMBOLO	SE LEE	MODO DE EMPLEO
£	Pertenece a	De elemento a conjunto
€	No pertenece a	De elemento a conjunto
/	Tal que	De elemento a conjunto
	Para todos	Involucra a elementos de      un conjunto.

Los conjuntos se pueden representar en la siguiente manera :

a.-POR EXTENCION.- CUANDO SE ENLISTAN TODOS SUS ELEMENTOS ENTRE LLAVES.

b.-POR COMPRENSION.- CUANDO SE DA UN CRITERIO DE DEFINICION.

c.-POR DIAGRAMA DE VENN.- CUANDO SE ENCIERRAN TODOS SUS ELEMENTOS EN UNA CURVA CERRADA.

POR EJEMPLO REPRESENTAR EN SUS TRES FORMAS EL CONJUNTO DE LAS VOCALES DEL ABECEDARIO:

A.-Por extensión.                 B.-Comprensión.                   C.-Diagrama de venn.

     {a,e,i,o,u}                        x/x sea una vocal                                                 

                           PRODUCTO CARTESIANO

Si desde una altura considerable se suelta una piedra transcurrida 1 segundo esta ha recorrido 4.9 m después de 2 segundos  ha recorrido 19.6 m.  yasí sucesivamente de acuerdo con  la siguiente tabla.

T(seg)	0	1	2	3	4
D(m)	0	4.9	19.6	44.1	78.4

Observa la correspondencia que se forma entre el tiempo y distancia para cada segundo en particular corresponde una distancia recorrida  por el móvil. Estos resultados también pueden ser representados mediante parejas ordenadas en donde se podría considerar  los tiempos  como los primeros elementos y las distancias  como los segundos.

(0,0,)                (1,4.9)                 (2,19.6)                 (3,44.1)                        (4,78.4)

Asosiaciones como 2 conjuntos como los anteriores son de uso comun por lo que resulta útil dar la siguiente definición.

PRODUCTO CARTESIANO

Sea A y B llamado producto cartesiano AxB al conjunto de parejas ordenadas tales que su primer componente es un elemento  de A y su segundo componente pertenece al conjunto B.

Por ejemplo determina el producto cartesiano del conjunto A {A,B} Y DEL CONJUNTO B{X,Y}

A-{a,b}                          A x B {(a,x) , (a,y)\ (b,x) (b,Y)

B-{x,y}

REPRESENTACION DE UN PRODUCTO CARTESIANO

A)POR EXTENCION

Cuando se presentan todos los pares ordenados por ejemplo

A.-{A , B }        A x B {(a , x ) , (a , y) (b , x) (b , y) }                     

B.-{X , Y }  

B.- MEDIANTE UN DIAGRAMA SAGITAL

X      Y

     A                                           B

a b

C)COMO PUNTOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES PARA ESTOS LOS ELEMENTOS DEL PRIMER CONJUNTO SE COLOCAN EN EL EJE ORIZONTAL Y LOS DEL 2DO EN EL EJE VERTICAL.

 

     Y

     X                                             

a          b         

si se toman 2 numeros cualquiera A y B Y los dos deseas colocar en una recta numérica los  puedes hacer de tres formas

1-A la izquierda de B osea que A es menor que B y la diferencia entre  A y B  nos da un numero negativo esto se denota

a‹b   A-B ‹ 0

2.- A la derecha de B entonces   A  es mayor  que B  lo que se escribe como

a ›b                                                   R

b                      a    

3- A en el mismo lugar que B con lo que se establece que A y B tienen el mismo valor  y su diferencia es igual a 0

A =B    b

                                R

a

       a – b = 0

2-si multiplicamos los miembros de una desigualdad por una misma  cantidad positiva el sentido de la desigualdad no cambia.

Si  a,b,c  €R C › 0

a ‹b

ac ‹ bc

si a›b      c› 0

ac › bc

3.- si multiplicamos los  miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa el sentido de la desigualdad se invierte

Si  a,b,c  €R C › 0    C › 0

a ‹b

ac › bc

4.-si un primer miembro es mayor que un segundo y este mayor que un tercero entonces el primero   es mayor que el tercero

Si      a › b

Y  b › c

a› b ›c

esta propiedad también se cumple para el menor que y a esta desigualdad se le llama triangulares y por tener tres miembros .

las desigualdades nos representan segmentos del eje  real . a estos los llamamos intervalos .

llamamos intervalo al conjunto de todo los números comprendidos en un segmento del eje real

los intervalos se clasifican de la siguiente manera

a-    Intervalo abierto – es un subconjunto  del eje real comprendido  entre dos puntos dados  A Y B  sin incluir sus extremos

 

a                                  b 

B- INTERVALO CERRADO –subconjunto del eje real  limitado por los números  A Y B incluyendo a sus limites  de manera precisa

 

a                                b 

C- INTERVALO ABIERTO CERRADO

 ESTE ES                                                         

a                                  b

D.- INTERVALO CERRADO ABIERTO

ESTE ES ASI                                       

a                      b 

                                                      ECUACIONES

Estos son ejemplos de inecuaciones  y se representa gráficamente como intervalos  resolviéndose con métodos similares a las ecuaciones

Inecuación    3 x + 2 ›14

                3 x›14-2

               3 x › 12

x› 12/3

             x = 4

                                                RELACIONES

Evaluamos  comparamos y al hacerlo se piensa en objetos  en relación con las características  que los presentan unidos

Es un subconjunto  de un producto cartesiano  formado por las parejas  que cumplen una cierta condición.

Al conjunto de los primeros elementos  de las parejas de la relación se llama dominio de la relación R y sus elementos se designan con la letra  X denominados argumentos 

Al segundo conjunto se le conoce como dominio  de la relación y en el sub conjunto  que cumplen con la condición  se le llama rango o imagen  de R  y sus elementos se representan por la letra y    

El conjunto de imágenes  de la relación se llama: dominio de imágenes.

 

        DOMINIO                                                                 

                                                          CODOMINIO

En el ejemplo anterior x1,x2,x3 son los argumentos  que se encuentran en el dominio de la función  y1,y2,y3 son los correspondientes valores  de y constituyen el dominio de imágenes siendo este un subconjunto del codominio.

                Funciones:

F:A-B    DEL CONJUNTO  A AL CONJUNTO   B

Es una relación tal que a cada elemento  de A se deasusie un único elemento del conjunto  B  y solamente uno

A:ES LA VARIABLE INDEPENDIENTE

B: VARIABLE DEPENDIENTE

EL CONJUNTO DE NUMEROS REALES  EN LOS CUALES LA FUNCION  ESTA DEFINIDA SE LLAMA: DOMINIO DE DEFINICION.

Las funciones se representan de la siguiente manera F:A-B  se lee  F va de A  a  B.

                   Clasificación de las funciones 

Existen tres criterios para clasificar las funciones  pueden presentarse  según la manera de expresarlas  o definirlas  de acuerdo a lo anterior las funciones son implícitas o explicitas.

Estarán  representadas  de forma explicita  si en la regla de correspondencia  la variable dependiente aparece despejada  es decir tiene la forma.

Y=F(X)

Y=2X

G(X)=7X-3

APARECE DE MANERA IMPLICITA SI NO SE VERIFICA LO ANTERIOR EJEMPLO. 

X²-2XY=20

Y-2X=12

LAS FUNCIONES SE CLASIFICAN TAMBIEN SEGÚN EL TIPO DE EXPRESION QUE APARECE EN LA REGLA  DE CORRESPONDENCIA ES ESTA LA QUE LE DA EL NOMBRE A  LA FUNCION: TENDREMOS ASI-

                                                      ALGEBRAICAS

FUNCIONES                                                                                 LOGARITMICAS

                                                    TRASCENDENTALES              TRIGONOMETRICAS

                                                                                                     EXPONENCIALES

A las últimas tres se le acostumbra llamar de manera general funciones trascendentes.

Las funciones algebraicas se clasifican  para su estudio de la siguiente manera:

ALGEBRAICAS:

·         CONSTANTE

·         IDENTIDAD

·         LINEAL

·         CUADRATICA

·         CUBICA

·         POLINOMINAL

·         RACIONAL

·         IRRACIONAL

A) FUNCION CONSTANTE.-  AQUELLA DE LA FORMA  F de X =K

K es una constante  es decir la imagen de todos los argumentos  de X es K

B) FUNCION IDENTIDAD.- La imagen es = que el argumento pues la forma F de  X =CON X su grafica corresponde  a una recta que pasa por el origen con una inclinación de 45 grados

C) FUNCION LINEAL.-representa la forma F de X =AMX+B

En donde M y B  son constantes

D) FUNCION CUADRATICA.- ES DE LA FORMA F de X = A X +BX + C  A diferencia  de cero su lugar geométrico corresponde  a una parábola con eje de simetría  paralelo al eje y su dominio

E) FUNCION CUBICA.- La expresión  que aparece en la regla funcional es un polinomio de tercer grado posee la forma  F(X)=ax+bx+cx+d

F) FUNCION POLINOMINAL.-tiene la forma  F(X)=a,x+a,x

Todas las funciones algebraicas vistas anteriormente  son una caso especial  de la función polinominal   el dominio para cualquier función poli nómica es también el conjunto  del eje  real.

G) FUNCION RACIONAL.-EL DOMINIO DE LA FUNCION RACIONAL ES TODO EL EJE REAL  ESEPTO LAS RAICES  DEL DENOMINADOR.

H)FUNCION IRRACIONAL.- Si la regla funcional posee expresiones algebraicas  no racionales  llamamos a la función  indefinida irracional.

Una función es irracional si no  es posible expresarla como el cociente de 2 polinomios  finitos de cocientes enteros.

             OPERACIONES CON FUNCIONES

Cuando tenemos  un objeto metálico ferroso pequeño en caída libre la trayectoria  que describe  es una función de la fuerza de gravedad.

Operaciones entre funciones:

Dadas 2 funciones F y G definimos

(f+g) (x) = f(x) + g (x)

(f – g) (x) = f(x) – g (x)

(f g ) (x) = [ f ( x ) ] [g(x)]

(f)  (x ) = f (x)  g (x) 70 

g           g(x)

                        LIMITES Y CONTINUIDAD

El cálculo es una herramienta matemática de gran alcance en cuanto aplicaciones se refiere de hecho nace como necesidad de resolver  cierto tipo de problemas y aunque hemos comentado que sus principales iniciadores  son Isaac newton   en el siglo xvll  las directrices básicas que lo fundamenta  aparece ya en la antigua Grecia  en algunos trabajos de índole geométrico por ejemplo la determinación del volumen  de un cono como una proximacion  de un conjunto de cilindros de distintos radios debido al Demócrito  o también en la resolución de un problema aúnmás fundamental  que podríamos estar tentados  a calificar de elemental

Es común representar al límite de la siguiente manera:

Lim F (x)=L

x---c

Se lee el límite de F de (X) es cuando x tiende a C es L

Sea f y g dos funciones  se verifica que:

Si existen el límite  F(x)                         y el G(x)

                                   x-----c                           x------c

1. - limite [f(x)+g(x)]=lim. F (x) + lim g (x)

x----c                                  x---c              x---c

2.-lim [f(x) – g(x)]=lim f(x)    -  lim g(x)

         x-----c                 x-----c         x-----c

3.-lim [f(x)  g(x)]=   [lim f(x)]  [limg(x)]

x---c                           x---c             x----c

4.-lim f(x)= lim f(X)          

         G(x)     X—C 

                    Lim g(x)

PROBLEMAS

DADAS LAS FUNCIONES CALCULAR:

FX = 3X + 2                             G(X) = 3 -5X

F(X) + g(X)                               =                    3X+2+3-5X

=-2X+5

F(X) – G (X)     =   3X+2-(3-5X)

                           =3X+2-3+5X

=8X-1

 [F(X)] [G(X)]

(3X+2)  (3-5X)

9X -15XCU +6-10X

=-15X-X+6

PROBLEMAS DERIVADAS

Y=X3 + 2X2 – 2X +1

Y=(X+X)3  +  2 (X+X)2 – 2 (X+X) + 1

Y=X³+3X²X+3XX²+X³+2(X²+2XX+X²⁾-2(X+X)+1

Y=X³+3X²X+3XX²+X²+X³+2X²+4XX+2X²-2X-2X+1

Y=3X²X+3XX²+4XX+X³+2X²-2X+X³+2X²-2X

Y=X(3X²+3XX+4XX+X²+2X-2)X³+2X²-2X+1

Y=X(3X²+3XX+4XX+X²+2X-2)X³+2X²-2X+1-X³-2X²+2X-1

Y=X3X³+3XX+4XX+X²+2X-2

LIM  X-------O

Y---------3X²+4X-2